Eksponen dan penarikan akar ~ SITI HUMAIRA

EKSPONEN DAN PENARIKAN AKAR

MAKALAH

Disusun Oleh

Tasha Januar Larasati (150210204006)

Siti Humaira (150210204010)

Putri Novitasari N. (150210204055)

Ahadiah Arima Yasmin (150210204064)

Rosalia Indah (150210204062)

Farhana (150210204117)

JURUSAN PENDIDKAN GURU SEKOLAH DASAR

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS JEMBER

2015

EKSPONEN DAN PENARIKAN AKAR

Disusun guna untuk memenuhi matakuliah Konsep Dasar Matematika

Dosen Pengampu : Dra. Titik Sugiarti , MPd

Disusun Oleh Kelompok VII/ Kelas B

Tasha Januar Larasati (150210204006)

Siti Humaira (150210204010)

Putri Novitasari N. (150210204055)

Ahadiah Arima Yasmin (150210204064)

Rosalia Indah (150210204062)

Farhana (150210204117)

JURUSAN PENDIDKAN GURU SEKOLAH DASAR

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS JEMBER

2015

Eksponen atau Bilangan Berpangkat

A. Pengertian Eksponen atau Bilangan Berpangkat

Dalam penjumlahan ada proses penjumlahan berulang yang penulisannya dapat di singkat sebagai berikut.

3+3+3+3+3 = 5x3

Begitu pula dalam perkalian, ada proses perkalian berulang, yang penulisannya dapat pula di singkat sebagai berikut.

3x3x3x3x3 = 3⁵

Jadi, pengertian Eksponen atau Bilangan Berpangkat adalah perkalian yang diulang-ulang dari suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri sebanyak jumlah pangkatnya.

aⁿ = a x a x a x a x a ... x a sebanyak n

^{n faktor}

catatan: a disebut bilangan pokok atau basis.

n disebut pangkat atau eksponen.

aⁿ disebut bilangan berpangkat.

B. Bilangan berpangkat di bagi menjadi tiga :

1. Bilangan berpangkat bulat positif

•

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2, ditulis 2⁷
^{7 faktor}

•

(-4) x (-4) x (-4) x (-4), ditulis (-4)⁴
^{4 faktor}

•

⅕ x ⅕ x ⅕ x ⅕ x ⅕ x ⅕, ditulis (⅕)⁶

^6
faktor

Catatan :

aⁿ : disebut bilangan berpangkat dengan pangkat bulat positif

a : disebut bilangan pokok/basis, aϵR

n : disebut pangkat/eksponen, n ϵ himpunan bilangan bulat positif

B. Sifat-sifat Bilangan Berpangkat dengan Pangkat Bulat Positif

Misalkan a,b ϵ R, dan m,n adalah bilangan bulat positif dengan m≥n,maka

1. Sifat perkalian bilangan berpangkat

Aturan umum untuk perkalian perpangkatan dengan bilangan pokok yang sama dapat di turunkan dengan cara menuliskan perkaliannya secara lengkap.

a²x a³ = ( a x a ) x( a x a x a )

^{2 faktor 3 faktor}

= a x a x a x a x a

^{5 faktor}

= a⁵

a^m x aⁿ = a x a x a x . . . .x a x a x a x . . . x a

^{m faktor}^n
faktor

= a x a x a x . . . x a

^{m + n faktor}

= a^m+n

Jadi, penulisan bilangan-bilangan berpangkat dengan bilangan pokok yang sama di peroleh dengan menjumlahkan eksponen-eksponennya. Jika a, m, dan n tiga buah bilangan bulat positif maka berlaku:

Contoh soal :

Tentukan hasil perkalian berikut.

1. 2³ x 2⁴2. 5² x 5³3. 9² x 9⁵ x 9

Jawab :

1. 2³ x 2⁴= 2³⁺⁴2. 5²x 5³ = 5²⁺³3. 9² x 9⁵ x 9 = 9²⁺⁵⁺¹

= 2⁷=5⁵= 9⁸

2. Sifat pembagian bilangan berpangkat

Secara umum, pembagian dua bilangan berpangkat dengan bilangan pokok yang sama di peroleh dengan cara mengurangkan eksponen pembagi dari eksponen bilangan yang dibagi.

Misalnya:

3⁵: 3³= ( 3 x 3 x 3 x 3 x 3) : ( 3 x 3 x 3)

= ( 3 x 3)( 3 x 3 x 3 ) : ( 3 x 3 x 3)

= ( 3 x 3) x 1

= 3²

Jadidapatdisimpulkan sifatpembagian bilangan berpangkat yaitu dengan rumus :

Contoh soal :

1. 2³ : 2 2. 4³ : 4² 3. 8⁷: 8⁵

Jawab :

1. 2³ : 2 = 2^3-1 2. 4³ : 4² = 4^3-2 3. 8⁷: 8³= 8^7-3

= 2²= 4= 8⁴

3.Sifat distributif perpangkatan terhadap perkalian

( a x b )ⁿ = ( a x b ) x ( a x b ) x (a x b ) x . . . x ( a x b )

^{Sebanyak n
faktor}

= ( a x a x a x . . . x a ) x ( b x b x b x . . . x b)

^{Sebanyak
n faktor}^{sebanyak
n faktor}

= aⁿ x bⁿ

Text Box: ( a x b )n = an x bn
(a x b)n bisa ditulis dengan (ab)n

Jadi, sifat distributif perpangkatan terhadap perkalian menghasilkan rumus :

Contoh soal:

1. ( 3a)³ 2. (5.6)²3. ( xy )⁵

Jawab :

1. ( 3a)³ = 3³. a³ 2. (5.6)²= 5² . 6²3. ( xy )⁵= x⁵ . y⁵

= 27a³= 25 x 36

= 900

4. Sifat distributif perpangkatan terhadap pembagian

Sifat distributif perpangkatan terhadap pembagian sama halnya dengan sifat distributif perpangkatan terhadap pembagian seperti difinisi perpangkatan di bawah ini.

( a : b )ⁿ = ( a : b ) x ( a : b ) : ( a : b ) x . . . x ( a : b )

^{Sebanyak n
faktor}

= ( a x a x a x . . . x a ) : ( b x b x b x . . . x b)

^{sebanyak
n faktor} ^{sebanyak n faktor}

= aⁿ : bⁿ
Jadi,sifat distributif perpangkatan terhadap pembagian menghasilkan rumus :

Contoh soal :

Tentukan hasil perpangkatan berikut!

Jawab :

5.Sifat perkalian eksponen – eksponen

Secara umum sifat perkalian eksponen berlaku yaitu :

( a^m)ⁿ = a^m x a^m x a^m x a^mx . . . x a^m

^{Sebanyak n faktor}

= ( a x a x a x . . . x a ) x ( a x a x a x . . . x a) x . . . ( a x a x a x . . . x a)

^{(sebanyak
n faktor masing – masing terdiri dari m faktor)}

Ada sebanyak n kelompok perkalian berpangkat dan tiap kelompok mempunyai m faktor. Jadi, seluruhnya ada m x n faktor.

= a x a x a x . . . x a, sebanyak b x c faktor = a^mxnatau

( a x a x a x . . . x a) x ( a x a x a x . . . x a) x ( a x a x a x . . . x a)

^{m faktor}^{m
faktor m faktor}^{n faktor}

Jadi, bila sebuah bilangan berpangkat dipangkatkan lagi dengan pangkat lain maka eksponen- eksponennya di kalikan. Secara umum berlaku sifat perkalian eksponen – eksponen sebagaimana yang di buktikan di atas yaitu : ( a^m)ⁿ= a^m x a^m x a^m x . . . x a^m^{sebanyak
n faktor} = a^mxn

Rumus :

Contoh soal :

1. (3³)²2. (5²)²3. ( 7²)⁴

Jawab :

1. (3³)²= 3^3x22. (5²)²= 5^2x23. ( 2²)⁴ = 2^2x4

= 3⁶=5⁴ = 2⁸

= 729 = 625 = 256

2. Bilangan Pangkat Nol

Untuk setiap a ϵ R, dan a ≠ 0 maka

= 1 (0^o tidak didefinisikan)

Gunakan sifat-sifat bilangan pangkat bulat positif, untuk membuktikan alasan pendefinisian.

bagilah kedua ruas dengan aⁿ sehingga diperoleh:

(1) = 1

= 1

Maka secara umum bilangan berpangkat nol didefinisikan sebagai berikut :

Text Box: Jika a adalah bilangan real dan a ≠ 0 maka a^0 = 1

Contoh soal :

Tentukan nilai perpangkatan berikut!

a. 5⁰b. (-4)⁰c.

d. (5q)⁰ ; q ≠ 0

Jawab :

a. 5⁰ = 1

b. (-4)⁰ = 1

= 1

d. (5q)⁰ = 5⁰. q⁰

= 1 . 1

= 1

3. Bilangan Pangkat Negatif

Jika a ϵ R , a ≠ 0 dan n ϵ bilanganpositif, maka

= 1 dan

dari definisi di atas dapat kita tunjukkan, dengan menggunakan sifat bentuk pangkat bulat positif dan nol yaitus ebagai berikut:

= 1

bagilah kedua ruas dengan

, sehingga diperoleh:

Contoh soal :

Ubah ke bentuk pangkat positif!

a. 2^-3c. 2a^-n; a ≠ 0

; a ≠ 0, b ≠ 0

Jawab :

a. 2^-3=

= 10⁴

= 10000

c.2a^-n= 2 x

BENTUK AKAR

A.Pengertian Bentuk Akar

Pengakaran (penarikan akar) suatu bilangan adalah inversi dari pemangkatan suatu bilangan. Akar dilambangkan dengan notasi “

”

Bilangan bentuk akar, Misalnya,

Ternyata, salah satu faktor dari bilangan di dalam tanda akar yaitu: 8,48,16,294 adalah bilangan berpangkat yang pangkatnya sama dengan kelipatan pangkat akar.

Contoh: Nilai dari ³√8 adalah 2 .

Catatan :

= Bentuk akar radikal n = Pangkat akar atau Indeks

= Lambang bentuk Akar a = Bilangan dibawah tanda akar ( Radikan)

B. Menyederhanakan Bentuk Akar

Dalam matematika penulisan bentuk akar biasanya ditulis dalam bentuk yang paling sederhana untuk memudahkan dalam pengoperasikan bentuk akar.

Contoh menyederhanakan bentuk akar

= 5

= 2 ×

Operasi pada bilangan bentuk akar

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dilakukan dengan sifat berikut (sifat distributif)

Pembuktian sifat penjumlahan dan pengurangan bentuk akar dapat dilakukan dengan menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan penguranagan bilangan real sifat ini berlaku pada bilangan rasional dan irasional sebab kedua bilangan tersebut termasuk bilangan real.

a√c + b√c = (a+b)√c (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan)

a√c - b√c = (a-b)√c (sifat distributif perkalian terhadap pengurangan)

Contoh :

Jawab :

= (3 + 5)

= 8

= (6 - 4)

= 2

–

= 8

+ 7

- 5

= (8 + 7 – 5)

–

= 6

= (6 – 4 – 7)

= -5

2.Perkalian Bentuk Akar

Dalam operasi Perkalian bentuk akar dapat menggunakan sifat berikut.

Contoh :

Sederhanakanlah bentuk akar berikut!

d. (

) × (

)

Jawab :

= 3

= 8

= 4 × 3

= 12

d. (

) × (

)

(

) -

(

)

= 6 +

- 2

= 6 – 2

= 4

3.Pembagian Bentuk Akar

Operasi pembagian pada bentuk akar dapat di lakukan dengan menggunakan sifat berikut.

Text Box: Untuk a,b ϵ himpunan bilangan rasional non-negatif, b ≠ 0, berlaku.
√a/√b = √(a/b)

Contoh :

Jawab :

= 2

4.Mengubah Bentuk Akar menjadi Bilangan Berpangkat dan Sebaliknya

Bentuk √a dengan a bilangan bulat tidak negatif disebut bentuk akar kuadrat dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil kuadratnya sama dengan a. Oleh karena itu,

merupakan bentuk akar kuadrat. Untuk selanjutnya, bentuk akar

dapat ditulis

. Maka dari itu disebut bentuk pangkat pecahan.

Contoh soal :

= 3.

= 4.

= 2⁴

= 16

= 5³

= 125

= 7²

= 49

= 3²

= 9

Jawab :

C. Merasionalkan Bentuk Akar

1. Merasionalkan penyebut bentuk

dengan b > 0

Dalam operasi aljabar pada bilangan pecahan, pecahan yang penyebutnya mengandung bentuk akar, seperti

, dapat diubah atau disederhanakan dengan merasionalkan penyebut berbentuk akar dengan cara pembilang dan penyebut dari pecahan tersebut sama-sama dikalikan dengan bentuk akar dari penyebut (