BILANGAN ASLI, BILANGAN
CACAH, DAN
BILANGAN BULAT
RESUME
Sebagai Pemenuhan Tugas
Mata Kuliah Pendidikan Matematika
yang Diampu oleh
Ibu Dra. Titik Sugiarti , M.Pd
dan Bapak Fajar Surya Hutama, S.Pd, M.Pd
Oleh
Kelompok 1
Siti Humaira (150210204010)
Nurliana Mawaddah (150210204015)
Tika Triyana (150210204030)
N.
Lailatul Nadhifatul Uyun (150210204040)
Kelas B
PROGRAM STUDI
PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR
JURUSAN ILMU PENDIDIKAN
FAKULTAS KEGURUAN DAN
ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS JEMBER
2016
BAB I
PENDAHULUAN
A.
Latar Belakang Masalah
Matematika merupakan suatu ilmu yang berhubungan dengan
penelaahan bentuk-bentuk atau struktur-struktur yang abstrak dan
hubungan-hubungannya diantara hal-hal itu. Semakin berkembangnya zaman,
teknologi semakin canggih dan pengguna teknologi diharuskan memiliki kemampuan
untuk memanfaatkan teknologi tersebut dengan sebaik mungkin. Kemajuan pesat di bidang teknologi
informasi dan komunikasi dewasa ini
pun dilandasai oleh perkembangan
matematika.
Pembelajaran
matematika di sekolah dasar (SD) merupakan dasar bagi penerapan konsep
matematika pada jenjang berikutnya. Konsekuensinya dalam pelaksanaan
pembelajaran matematika di SD
harus mampu menata dan meletakkan dasar penalaran siswa yang dapat membantu mamperjelas menyelesaikan permasalahan dalam
kehidupan sehari-hari dan kemampuan
berkomunikasi dengan bilangan dan simbol-simbol, serta lebih mengembangkan sikap
logis, kritis, cermat, disiplin, terbuka, optimis, dan menghargai Matematika.
Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan
untuk pencacahan dan pengukuran. Bilangan juga merupakan suatu ide yang
bersifat abstrak yang akan memberikan keterangan mengenai banyaknya suatu
kumpulan benda. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili bilangan
itu disebut angka atau lambang bilangan. Dalam penggunaan sehari-hari, angka,
bilangan dan nomor seringkali disamakan, secara definisi, angka, bilangan dan
nomor merupakan tiga entitas yang berbeda.
Angka adalah suatu tanda atau lambang yang digunakan
untuk melambangkan bilangan, sedangkan nomor biasanya menunjuk pada
satu atau lebih angka yang melambangkan sebuah bilangan bulat dalam suatu
barisan bilangan-bilangan bulat yang berurutan
B.
Tujuan
Tujuan dari penyusunan materi ini adalah untuk memberi
pengetahuan kepada pembaca mengenai bilangan asli, bilangan cacah, dan bilangan
bulat beseta sifat dan operasinya.
BAB II
PEMBAHASAN
A.
Bilangan Asli (A)
1.
Pengertian Bilangan Asli
Bilangan asli (A) (counting
number atau natural number)
merupakan bilangan yang dimulai dari angka 1 dan bertambah 1. Pada garis deret
ukur bilangan matematika yang dimulai dari angka 1 bertambah 1 ke arah kanan. Contoh
bilangan asli adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...
2.
Operasi Bilangan Asli
a.
Operasi Penjumlahan Bilangan Asli
Penjumlahan adalah menggabungkan sekelompok
bilangan atau lebih menjadi suatu bilangan yang merupakan jumlah. Contoh
di bawah adalah penjumlahan antara 1 buah bola ditambah dengan 1 buah bola
yang menghasilkan 2 buah bola:
Apabila dinotasikan dengan angka menjadi:
1 + 1 = 2
Penjumlahan juga dapat dilakukan dengan
bertukar tempat. Pertukaran posisi dari angka yang dijumlahkan akan
menghasilkan jumlah yang sama.
Maka, 3 + 2 = 5
Demikian
pula denga pola berikut ini:
Maka, 2 + 3 = 5 dan berlaku sifat komutatif
pada penjumlahan.
Contoh lain:
1.
2 + 4 = 6 dan 4 + 2 = 6
2.
12 + 6 = 18 dan 6 + 12 = 18
3.
9 + 95 = 104 dan 95 + 9 = 104
b.
Operasi Pengurangan Bilangan Asli
Operasi perkurangan dinyatakan dengan tanda minus
dalam notasi infix, dengan bentuk rumus:
c – b = a
Dalam pengurangan,
bilangan yang dikurangi disebut minuend, bilangan
pengurang disebut subtrahend dan jawabannya disebut reminder.
Maka c adalah minuend, b adalah subtrahend, dan a adalah reminder. Contoh :
1)
5 – 3 = 2
2)
15 - 7 = 8
3)
25 - 11 = 14
4)
76 – 6 = 10
c.
Operasi
Perkalian Bilangan Asli
Perkalian adalah operasi
matematika penskalaan
satu bilangan dengan bilangan lain. Operasi ini adalah salah satu dari empat
operasi dasar di dalam aritmetika dasar
(yang lainnya adalah penjumlahan, pengurangan, pembagian).
Perkalian
terdefinisi untuk seluruh bilangan
di dalam suku-suku perjumlahan yang diulang-ulang: misalnya, 3 dikali 4
(seringkali dibaca "3 kali 4") dapat dihitung dengan menjumlahkan 3
salinan dari 4 bersama-sama:
3 x 4 = 4 + 4 + 4 = 12
Contoh lain :
1)
5 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
2)
7 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 35
3)
4 x 11 = 11 + 11 + 11 + 11 = 44
d.
Operasi Pembagian
Bilangan Asli
Pembagian adalah konsep matematika utama yang
seharusnya dipelajari oleh anak-anak setelah mereka mempelajari operasi
penambahan, pengurangan dan perkalian. Pembagian adalah pengurangan berulang. Contohnya
12 : 4 artinya “12 – 4 – 4 - 4 = 0” maka hasilnya 12 : 4 = 3.
Dalam tahap ini, diperkenalkan terlebih dahulu
konsep Pembagian sebagai Pengurangan Beruntun dalam kehidupan sehari-hari,
misalnya dengan menggunakan pensil atau buku yang berada di sekitar
anak-anak belajar. Sebagai keterangan tambahan, cara mengajarkan fakta-fakta
pembagian dapat menggunakan gambar-gambar benda nyata dalam bentuk soal secara
pengurangan berulang-ulang. Contoh:
1.
Ibu mempunyai 10 permen dibagikan
kepada 5 orang anak setiap anak mendapat sama banyak berapa permen yang
diterima setiap anak ?
Jawab :
10 : 5 artinya 10 dikurangi 5 secara berulang
sampai habis / hasilnya 0
10 – 5 – 5 = 0 ( habis )
Pengurangan selesai setelah 2 kali, jadi setiap
anak mendapat 2 permen.
2.
8 : 2 = 8 – 2 – 2 – 2 – 2 = 0
Maka, 8 : 2 = 4
3.
20 : 4 = 16 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 =
0
Maka, 20 : 4 = 5
3. Sifat-sifat Operasi Bilangan Asli
a.
Sifat komutatif
Seperti yang telah kamu ketahui, sifat komutatif disebut
juga sifat pertukaran. Untuk lebih jelasnya, perhatikan penjumlahan berikut.
2 + 4 = 6
4 + 2 = 6
Jadi, 2 + 4 = 4 + 2.
Sifat seperti ini dinamakan sifat komutatif pada
penjumlahan. Sekarang, coba perhatikan perkalian berikut.
2 × 4 = 8
4 × 2 = 8
Jadi, 2 × 4 = 4 × 2.
Sifat seperti ini dinamakan sifat komutatif pada perkalian.
Apakah sifat komutatif berlaku pada pengurangan dan pembagian?
Perhatikan contoh berikut.
1)
2 – 4 = –2 dan 4 – 2 = 2
Jadi, 2 – 4 tidak sama dengan 4 – 2, atau 2 – 4 ≠ 4 – 2.
2)
2 : 4 = 0,5 dan 4 : 2 = 2
Diperoleh bahwa 2 : 4 tidak sama
dengan 4 : 2, atau 2 : 4 ≠ 4 : 2. Jadi,
pada pengurangan dan pembagian tidak berlaku sifat komutatif.
b.
Sifat Asosiatif
Pada penjumlahan dan perkalian tiga bilangan bulat berlaku
sifat asosiatif atau disebut juga sifat pengelompokan. Perhatikanlah
contoh penjumlahan tiga bilangan berikut.
(2
+ 3) + 4 = 5 + 4 = 9
2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9
Jadi, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). Sifat seperti ini
dinamakan sifat asosiatif pada penjumlahan. Sekarang, coba perhatikan contoh
perkalian berikut.
(2
× 3) × 4 = 6 × 4 = 24
2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24
Jadi, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4). Sifat ini disebut sifat
asosiatif pada perkalian.
c.
Sifat Distributif
Selain sifat komutatif dan sifat asosiatif, terdapat pula
sifat distributif. Sifat distributif disebut juga sifat
penyebaran. Untuk lebih memahaminya, perhatikanlah contoh berikut.
Contoh 1 :
Apakah 3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5) ?
Jawab:
3 × (4 + 5) = 3 × 9 = 27, dan
(3 × 4) + (3 × 5) = 12 + 15 = 27.
Jadi, 3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5)
Contoh 2 :
Apakah 3 × (4 – 2) = (3 × 4) – (3 × 2) ?
Jawab:
3 × (4 – 2) = 3 × 2 = 6, dan
(3× 4) – (3 × 2) = 12 – 6 = 6.
Jadi, 3 × (4 – 2) = (3 × 4) – (3 × 2).
B.
Bilangan Cacah
1.
Pengertian Bilangan Cacah
Bilangan cacah merupakan himpunan bilangan asli ditambah
dengan bilangan nol. Bilangan asli sendiri merupakan bilangan yang dimulai dari
1, lalu selanjutnya bertambah satu-satu. Contoh bilangan cacah yaitu : 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...
2.
Operasi Pada Bilangan Cacah
Operasi pada bilangan cacah meliputi penjumlahan,
pengurangan, perkalian dan pembagian.
a.
Operasi Penjumlahan Bilangan Cacah
Ada 2 pendekatan atau jalan untuk menerangkan penjumlahan,
yaitu melalui kumpulan, dan dengan pengukuran.
1.
Penjumlahan melalui kumpulan
Penjumlahan dengan menggunakan dasar kumpulan didasarkan
kepada gabungan dua kumpulan lepas. Mengingat dunia anak-anak masih nyata maka
kumpulan yang diambil harus kumpulan dengan anggota benda nyata atau gambar
dengan anggota real. Misalnya :
Saya punya kelerang dua buah. Kemudian saya membeli lagi
tiga buah. Berapa buah kelerang yang sekarang saya miliki ?
Kita juga dapat menggunakan benda-benda lain, seperti :
buku, mobil-mobilan, pensil, dan lain-lain.
2.
Penjumlahan melalui pengukuran
Pada penjumlahan dengan pengukuran, yang dijumlahkan itu
bukan bilangan kardinal dari kumpulan-kumpulan tetapi ukuran panjangnya.
Penjumlahan dengan pengukuran dapat diperagakan dengan menggunakan garis
bilangan.
Contoh :
3.
Sifat- sifat penjumlahan
a)
Sifat tertutup, yang berarti hasil dari penjumlahan
bilangan cacah a dan bilangan cacah b adalah berupa bilangan cacah, misalnya:
0 + 1 = 1
1 + 2 = 3
b)
Sifat komutatif atau juga sering dikenal dengan sifat
pertukaran berlaku:
a + b = b + a, misalnya :
1 + 0 = 1 dan 0 + 1 = 1
3 + 1 = 4 dan 1 + 3 = 4
c)
Sifat Asosiatif atau juga dikenal dengan nama sifat
pengelompokan, berlaku:
( a + b ) + c = a + ( b + c ), misalnya :
( 1 + 2 ) + 3 = 6 dan 1 + ( 2 + 3 )
= 6
( 3 + 1 ) + 6 = 10 dan 3 + ( 1 + 6 ) = 10
d)
Unsur Identitas, yang berarti apabila dijumlah suatu
bilangan cacah dengan bilangan nol maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri,
misalnya
0
+ a = a + 0 = a
0 + 3 = 3 + 0 = 3
5 + 0 = 5
b.
Operasi Pengurangan Bilangan Cacah
Pada penjumlahan, kita mencari jumlahnya.
4 +
3 =
Suku suku
jumlah
Sedangkan, pada pengurangan, kita mencari selisihnya.
5 - 3 =
Yang dikurangi pengurang
selisih
Pada 5 – 3 = kita harus mencari bilangan yang bila ditambahkan
kepada 3 diperoleh 5. Ada beberapa cara untuk menjelaskan operasi pengurangan
kepada anak usia SD.
1.
Pengurangan melalui kumpulan
Banyak cerita sehari-hari yang pemecahannya memerlukan
pemahaman pengurangan. Misalnya :
Ada 5 ekor anak ayam. Dua ekor lari mengejar kupu-kupu.
Berapa ekor anak ayam yang tinggal ? gambar atau model konkretnya dapat sebagai
berikut :
2.
Pengurangan melalui pengukuran
Pengurangan dengan pengukuran dapat dilakukan dengan
menggunakan garis bilangan. Meragakan penjumlahan pada garis bilangan ialah
dengan bergerak maju (ke sebelah kanan), sedangkan pengurangan berlawanan arah
dengan penjumlahan yaitu bergerak mundur (ke sebelah kiri).
Contoh : 4 – 2 = 2
3.
Pengurangan dengan bilangan nol
Setiap bilangan jika dikurangi oleh nol, hasilnya adalah
bilangan itu sendiri.
|
Contoh : 1) 6 – 0 = 6
2) 15 – 0 = 15
3) 24 - 0 = 24
c.
Operasi Perkalian Bilangan Cacah
Operasi perkalian bilangan cacah dapat didefinisikan
sebagai hasil penjumlahan berulang bilangan-bilangan cacah. Jika a dan b
bilangan-bilangan cacah. Maka a x b dapat didefinisikan sebagai :
a x b = b + b + b + b +b +... + b sebanyak a kali
Oleh karena itu, 4 x 3 mengandung arti 3 + 3 + 3 + 3.
Sedangkan 3 x 4 mengandung arti 4 + 4 + 4. Jadi secara konseptual a x b tidak sama dengan b x a, akan tetapi kalau dilihat
hasilnya saja maka a x b = b x a.
1.
Perkalian sebagai penjumlahan berulang
Perhatikan soal berikut ini. “Ibu Ani
mempunyai 2 dus telur yang masing-masing dus berisi 6 telur. Berapa butir telur
yang Ibu Ani miliki ?” banyaknya telur yang dimiliki oleh Ibu Ani adalah 2 x 6
butir. Dari soal itu, jelas bahwa banyaknya telur Ibu Ani 6 + 6. Jadi 2 x 6 = 6
+ 6 = 12. Dengan demikian maka soalsoal 5 x 2, 6 x 1, 4 x 2, 2 x 4, dapat
diselesaikan dengan penjumlahan berulang sebagai berikut.
5 x 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
6 x 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6
4 x 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8
2 x 4 = 4 + 4 = 8
Namun, perlu diingat bahwa walaupun
hasil akhirnya sama, namun secara proses 5 x 2 tidak sama dengan 2 x 5, 5 x 2
merupakan jumlah dari lima bilangan 2, sedangkan 2 x 5 merupakan jumlah dari
dua bilangan 5. Untuk mengingatnya, kita bisa menganalogikannya pada reserp
dokter. 3 x 1 artinya tiga kali minum obat, dengan setiap kali meminum obat,
obat yang diminun 1 tablet.
2.
Sifat-sifat perkalian bilangan cacah
a)
Sifat tertutup
Sifat tertutup adalah hasil perkalian bilangan
cacah a dan b berupa bilangan cacah. Misalnya:
1)
0 x 1 = 0 (bilangan cacah)
2)
1 x 2 = 2 (bilangan cacah)
3)
4 x 5 =
20 (bilangan cacah)
b)
Sifat komutatif (pertukaran)
Pada operasi perkalian sebarang bilangan cacah
a dan b berlaku :
a x b = b x a, contoh:
1)
1 x 0 = 0 dan 0 x 1 = 0
2)
3 x 2 = 6 dan 2 x 3 = 6
3)
4 x 5 = 20 dan 5 x 4 = 20
c)
Sifat asosiatif (pengelompokan)
Pada operasi perkalian sebarang bilangan cacah
a, b dan c berlaku :
(a x b) x c = a x (b x c), misalnya :
1)
(1 x 2) x 3 = 1 x (2 x 3)
Ruas kiri : (1 x 2) x 3 Ruas Kanan :
1 x (2 x 3)
= 2 x 3 =
1 x 6
= 6 =
30
2)
(3 x 1) x 6 = 3 x (1 x 6)
Ruas kiri : (3 x 1) x 6 Ruas Kanan :
3 x (1 x 6)
= 3 x 6 =
3 x 6
= 18 =
18
d)
Sifat distributif (penyebaran)
perkalian terhadap penjumlahan
Pada perkalian terhadap penjumlahan bilangan
cacah sebarang a, b dan c berlaku: a x (b + c) = (a x b) + (a x c), misalnya :
1)
2 x (3 + 4) = (2 x 3) + (2 x 4)
Ruas kiri : 2 x (3
+ 4)
Ruas Kanan : (2
x 3) + (2 x 4)
= 2 x 7 = 6 + 8
= 14 =
14
2)
4 x (1 + 3) = (4 x 1) + (4 x 3)
Ruas kiri : 4 x (1
+ 3)
Ruas Kanan : (4
x 1) + (4 x 3)
= 4 x 4 = 4 + 12
= 16 =
16
e)
Perkalian dengan bilangan nol
Hasil perkalian bilangan cacah a dengan
bilangan nol adalah nol. Misalnya:
1)
a x 0 = 0
2)
5 x 0 = 0
3)
0 x 14 = 0
f)
Unsur Identitas
Hasil perkalian bilangan cacah a dengan
bilangan 1 adalah bilangan a itu sendiri. Misalnya :
1)
1 x a = a
2)
1 x 34 = 34
3)
7 x 1 = 7
d.
Operasi Pembagian Bilangan Cacah
Konsep pembagian diperkenalkan kepada siswa setelah ia
memahami konsep perkalian. Seperti pada penjumlahan, pengurangan, dan
perkalian, pembagian diperkenalkan kepada anak dengan menggunakan benda-benda
real atau gambar-gambar benda real yang dikaitkan dengan kehidupan sehari-hari.
Dengan keadaan yang sehari-hari yang sebenarnya itu diubah ke dalam model
konkrit atau gambar yang dilanjutkan dengan simbol. Misalnya:
“ada 6 buah kue yang harus dibagi sama di antara 3 anak.
Berapa buah kue untuk setiap anak ?”
Maka, setiap anak akan mendapatkan 2 buah kue.
Sesuai dengan macamnya soal cerita yang dapat diselesaikan
dengan pembagian, kita dapat menggunakan bermacam-macam pendekatan dalam
menanamkan pengertian pembagian. Pendekatan-pendekatan itu melalui pengurangan
berulangan dan cara bersusun pendek.
1.
Pembagian sebagai pengurangan berulang
Menyelesaikan soal 10 : 2 dengan cara pengurangan berulang
ialah sebagai berikut. Kurangi 10 itu dengan 2 terus menerus sampai habis atau
sisanya lebih kecil dari 2. Kemudian kita lihat berapa kali pengurangan
dilakukan.
10
2 _ ke-1
8
2 _ ke-2
6
2 _ ke-3
4 ternyata bahwa sampai sisinya 0
2
_ ke-4 oleh
2 itu terjadi 5 kali. Ini berarti
2 pengurangan
10 berarti 10 : 2 = 5
2 _ ke-5
0
C.
Bilangan Bulat
1.
Pengertian Bilangan Bulat
Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai
pecahan desimal, misalnya 8, 21, 87, 65, -34, 0. Bilangan bulat terdiri
dari bilangan bulat positif dan bilangan
bulat negatif. Bilangan bulat di dalamnya juga terdapat bilangan asli dan
cacah. Himpunan bilangan bulat diberi simbol B dan dinyatakan sebagai berikut :
B = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}.
Dalam bentuk garis bilangan :
2.
Operasi Hitung Bilangan Bulat
a.
Operasi
Penjumlahan Bilangan Bulat (+)
1.
Penjumlahan
bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif
Penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan
bulat positif selalu menghasilkan bilangan positif.
Contohnya: 2 + 5 = 7
2.
Penjumlahan
bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif
Penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan
bulat negatif akan menghasilkan :
a)
Bilangan bulat negatif, jika bilangan bulat negatif
lebih besar daripada bilangan bulat positif.
Contoh : 3 + (-5) = -2
b)
Bilangan nol, jika bilangan bulat positif sama dengan
bilangan bulat negatif.
c)
Bilangan bulat positif, jika bilangan bulat positif
lebih besar daripada bilangan negatif.
Contoh : 4 + (-3) = 1
3.
Penjumlahan
bilangan bulat negatif dengan bilangan positif
Penjumlahan bilangan bulat negatif dengan bilangan
bulat positif akan menghasilkan :
a)
Bilangan bulat negatif, jika bilangan bulat negatif
lebih besar daripada bilangan bulat positif.
Contoh : -6 + 3 = -3
b)
Bilangan nol, jika bilangan bulat negatif sama dengan
bilangan bulat positif.
Contoh : -3 +3 = 0
c)
Bilangan bulat positif, jika bilangan bulat positif
lebih besar daripada bilangan negatif.
Contoh : -4 + 6 = 2
4.
Penjumlahan
bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif
Penjumlahan bilangan bulat negatif dengan bilangan
bulat negatif selalu menghasilkan bilangan bulat negatif.
Contoh : -2 + (-3) = -5
 |
b.
Operasi
Pengurangan Bilangan Bulat (-)
1.
Pengurangan
bilangan bulat positif dengan positif
Pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan
bulat positif akan menghasilkan :
a) Bilangan bulat
positif, jika bilangan yang dikurangi lebih besar daripada yang mengurangi.
Contoh: 4 – 3 = 1 |
|||
 |
|||
b)
Bilangan nol, jika bilangan yang dikurangi sama dengan
bilangan yang mengurangi.
Contoh : 3 – 3 = 0
c)
Bilangan bulat negatif, jika bilangan yang mengurangi
lebih besar daripada bilangan yang dikurangi.
Contoh : 2 – 5 = -3
2.
Pengurangan
bilangan bulat negatif dengan negatif
Pengurangan
bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif akan menghasilkan :
a)
Bilangan bulat positif, jika bilangan yang mengurangi
lebih besar daripada bilangan yang dikurangi.
Contoh : -3 – (-6) = 3
b)
Bilangan nol, jika bilangan yang dikurangi sama dengan
bilangan yang mengurangi.
Contoh : -3 – (-3) = 0
c)
Bilangan bulat negatif, jika bilangan yang dikurangi
lebih besar daripada bilangan yang mengurangi.
Contoh : -5 – (-2) = -3
3.
Pengurangan
bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif
Pengurangan bilangan bulat negatif dengan bilangan
bulat positif akan menghasilkan bilangan bulat negatif.
Contoh : -2 - 3 = -5 |
4.
Pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan
bulat negatif
Pengurangan bilangan
bulat positif dengan bilangan bulat negatif akan menghasilkan bilangan bulat
negatif.
Contoh : 2 – (-3) = 5 |
c.
Operasi
Perkalian Bilangan Bulat (x)
Perlu diingat bahwa dalam operasi
perkalian walaupun hasil akhirnya sama, namun secara proses 5 x 2 tidak sama
dengan 2 x 5, 5 x 2 merupakan jumlah dari lima bilangan 2, sedangkan 2 x 5
merupakan jumlah dari dua bilangan 5. Untuk mengingatnya, kita bisa menganalogikannya
dengan resep dokter. 3 x 1 artinya tiga kali minum obat, dengan setiap kali
meminum obat, obat yang diminun 1 tablet yang diminum pagi, siang dan malam.
1.
Perkalian
bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif
Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat
positif akan menghasilkan bilangan bulat positif.
a x b = ab atau b x a = ba dan berlaku
sifat komutatif.
Contoh :
1)
7 x 6 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 42
2)
6 x 7 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 42
3)
3 x 3 = 3 + 3 + 3 = 9
2.
Perkalian
bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif
Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat
negatif akan menghasilkan bilangan bulat negatif.
a x (-b) = -ab
Contoh :
1)
4 x (-3) = (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = -12
2)
5 x (-4) = (-4) + (4) + (-4) + (-4) + (-4) = -20
3.
Perkalian
bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif
Jika 3 x (-4) = (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = -12, bagaimana dengan (-4) x 3 ? bisakah kita
menggunakan penjumlahan berulang angka 3 sebanyak –4 kali ? tentunya tidak bisa.
Contoh: -5 x 3 = ...
Maka untuk menghitung perkalian bilangan bulat negatif
dengan bilangan bulat positif, dengan memperhatikan pola penalaran berikut:
|
|
3 x 1 = 3
|
|
2 x 1 = 2
|
|
1 x 1 = 1
|
|
0 x 1 = 0
|
|
-1 x 1 = -1
|
|
-2 x 1 = -2
|
|
-3 x 1 = -3
|
|
-4 x 1 = -4
-5 x 1 = -5, dan seterusnya
Apabila diteruskan nilainya akan selalu negatif, dan
selisih antara hasil pertama dan hasil kedua selisih -1 dan begitu seterusnya.
Dari pola tersebut terlihat bahwa perkalian bilangan bulat positif dan bilangan
bulat negatif adalah bilangan negatif. Jadi, -5 x 3 = -15.
Contoh lain :
1.
|
(-25) x 2 = -50
2.
2 x (-25) = -50
3.
(-3) x 4 = -12
4.
Perkalian bilangan
bulat negatif dengan bilangan bulat negatif
Contoh soal. (-4) x (-3) = ?
Perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat
negatif akan selalu menghasilkan bilangan bulat positif -a x (-b) = ab.
Perhatikan pola penalaran berikut ini:
|
|
(-4) x 3 =
-12
|
|
(-4) x 2 =
-8
|
|
(-4) x 1 =
-4
|
|
|
|
|
|
(-4) x (-2) = 8
(-4) x (-3)
=
12, dan seterusnya.
Apabila
diteruskan nilainya akan selalu positif, dan hasil perkalian pertama dengan
perkalian kedua selisih 4 dan bertambah 4 seterusnya. Kemudian pengali pertama
dengan kedua dikurangi 1 (-1) hingga seterusnya. Dari
pola tersebut terlihat bahwa perkalian bilangan bulat negatif dan bilangan
bulat negatif adalah bilangan positif. Dari pola penalaran tersebut juga dapat
disimpulkan, bahwa perkalian dengan bilangan 0 akan menghasilkan 0. Jadi, (-4)
x (-3) = 12.
Contoh lain :
1)
|
(-4) x (-5) = 20
2)
(-5) x (-4) = 20
3)
(-7) x (-3) = 21
4)
(-5) x (-2) = 10
d.
Operasi
Pembagian Bilangan Bulat
Operasi pembagian bilangan bulat dapat dilakukan
dengan cara pengurangan berurutan hingga menghasilkan 0.
1.
Pembagian
bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif
Pembagian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat
positif akan selalu menghasilkan bilangan bulat positif.
Contoh :
1)
8 : 2 = ...
Cara ke-1
|
|
 |
Dalam kotak tersebut terdapat lingkaran hitam sebanyak
8, kemudian di ikat sama banyak. Masing-masing ikatan berisi dua lingkaran
hitam. Maka ada 4 ikatan yang isinya sama banyak.
Jadi, 8 : 2 = 4
Cara ke-2
Untuk pengerjakan operasi pembagian juga dapat dilakukan
dengan menggunakan operasi perkalian. Perhatikan contoh soal berikut ini.
|
8
2
|
8
4
|
8
2
|
20
5
|
Jadi, a
b
2)
9 : 3 = ...
9 – 3 = 6 , pengurangan ke-1
6 – 3 = 3 , pengurangan ke-2
3 – 3 = 0 , pengurangan ke-3
Dalam pembagian 9 : 3 terjadi 3 kali mengurangi 9 dengan
3 sehingga hasilnya 0, maka 9 : 3 = 3
2.
Pembagian
bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif, bilangan bulat positif
dengan bilangan bulat negatif, dan bilangan bulat negatif dengan negatif.
Contoh :
a)
Pembagian
bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif
(-8) : 2 = ...
|
(-8)
2
|
|
(-8)
|
 |
Contoh lain :
|
-15
5
b)
Pembagian bilangan
bulat positif dengan bilangan bulat negatif
|
18
-3
 |
c)
Pembagian
bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif
|
-12
-6
 |
3.
Sifat Operasi
Bilangan Bulat
a.
Sifat komutatif
Sifat komutatif (pertukaran) pada penjumlahan dan perkalian
untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku sebagi berikut :
a + b = b + a dan a x b = b x a, berlaku untuk semua bilangan bulat.
Contoh:
1)
3 + (-9) = -6 dan -9 + 3 = -6
2)
3 + 5 = 8 dan 5 + 3 = 8
3)
4 x 2 = 8 dan 2 x 4 = 8
4)
3 x 2 = 6 dan 2 x 3 = 6
5)
4 x -2 = -8 dan -2 x 4 = -8
b.
Sifat asosiatif
Sifat asosiatif (pengelompokan) pada penjumlahan dan
perkalian untuk setiap a, b, dan c bilangan-bilangan bulat berlaku :
(a + b) + c = a + (b + c)
(a x b) x c = a x (b x c), berlaku untuk semua bilangan bulat
Contoh:
1)
(9 + (-5)) + (-2) = 9 + ((-5) + (-2))
Ruas kiri : (9 +
(-5)) + (-2) Ruas Kanan : 9 + ((-5) + (-2))
= 4 + (-2) = 9 + (-7)
= 2 =
2
2)
(2 + 4) + 6 = 2 + (4 + 6)
Ruas kiri : (2 + 4)
+ 6 Ruas Kanan : 2 + (4 + 6)
= 6 + 6 = 2 + 10
=
12 =
12
3)
(3 x 2) x 4 = 3 x (2 x 4)
Ruas kiri : (3 x 2 )
x 4 Ruas
Kanan : 3 x (2 x 4)
= 6 x 4 = 3 + 8
= 24 =
24
4)
(3 x 5) x (-2) = 3 x (5 x (-2))
Ruas kiri : (3 x 5 )
x (-2) Ruas
Kanan : 3 x (5 x (-2))
= 15 x (-2) =
3 x (-10)
= -30 =
-30
c.
Sifat distributif (penyebaran)
Sifat distributif (penyebaran) berlaku a x (b + c) = (a x b) + (a x c), yang berlaku untuk semua bilangan
bulat.
Contoh :
1)
4 x (5 + 2) = (4 x 5) + (4 x 2)
Ruas kiri : 4 x (5
+2) Ruas Kanan : (4 x 5) + (4 x 2)
= 4 x 7 =
20 + 8
= 28 =
28
2)
3 x ((-2) + 4) = (3 x (-2)) + (3 x 4)
Ruas kiri : 3 x
((-2) + 4) Ruas Kanan : (3 x (-2)) + (3 x 4)
= 3 x 2 =
-6 + 12
= 6 =
6
BAB III
PENUTUP
3.1
Kesimpulan
Bilangan asli (A) (counting
number atau natural number)
merupakan bilangan yang dimulai dari angka 1 dan bertambah 1. Pada garis deret
ukur bilangan matematika yang dimulai dari angka 1 bertambah 1 ke arah kanan.
Contoh bilangan asli adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...
Operasi bilangan asli meliputi penjumlahan, pengurangan,
perkalian, dan pembagian. Sifat-sifat bilangan asli meliputi sifar komutatif (pertukaran),
sifat asosiatif (pengelompokan), dan sifat distributif (penyebaran).
Bilangan cacah merupakan himpunan bilangan asli ditambah
dengan bilangan nol. Bilangan asli sendiri merupakan bilangan yang dimulai dari
0, lalu selanjutnya bertambah satu-satu. Contoh bilangan cacah yaitu : 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...
Operasi bilangan cacah meliputi penjumlan,
pengurangan, perkalian, dan pembagian. Operasi penjumlahan ada 2 pendekatan
atau jalan untuk menerangkan penjumlahan, yaitu melalui kumpulan, dan dengan
pengukuran. Sifat penjumlahan bilangan cacah meliputi tertutup, komutatif,
asosiatif, dan usur identitas. Operasi pengurangan ada beberapa cara untuk
menjelaskan operasi pengurangan kepada anak usia SD, yaitu meliputi pengurangan
melalui kumpulan, pengurangan melalui pengukuran, dan pengurangan dengan
bilangan nol. Operasi perkalian bilangan cacah dapat didefinisikan sebagai
hasil penjumlahan berulang bilangan-bilangan cacah. Jika a dan b bilangan-bilangan
cacah. Maka a x b dapat didefinisikan sebagai: a x b = b + b + b + b +b +... +
b sebanyak a kali. Sifat perkalian bilangan cacah meliputi: sifat tertutup,
komutatif, asosiatif, distributif, perkalian dengan bilangan nol, dan unsur
identitas. Operasi pembagian bilangan
cacah dapat dilakukan dengan cara pengurangan berulang-ulang.
Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai
pecahan desimal, misalnya 8, 21, 87, 65, -34, 0. Bialangan bulat terdiri
dari bilangan bulat positif dan bilangan
bulat negatif. Bilangan bulat didalamnya juga terdapat bilangan asli dan cacah.
Himpunan bilangan bulat diberi simbol B dan dinyatakan sebagai berikut : B =
{…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}. Operasi bilangan bulat meliputi operasi
penjumlahan, pengurangan, pengurangan, pembagian.
Operasi penjumlahan bilangan bulat meliputi:
penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif, penjumlahan bilangan
bulat positif dengan bilangan bulat negatif, penjumlahan bilangan bulat negatif
dengan bilangan positif, dan penjumlahan bilangan bulat negatif dengan bilangan
bulat negatif.
Operasi pengurangan bilangan bulat meliputi:
pengurangan bilangan bulat positif dengan positif , pengurangan bilangan
bulat negatif dengan negatif, pengurangan bilangan bulat negatif dengan
bilangan bulat positif, pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan
bulat negatif.
Operasi perkalian bilangan bulat meliputi: perkalian
bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif, perkalian bilangan bulat
positif dengan bilangan bulat negatif, perkalian bilangan bulat negatif dengan
bilangan bulat positif, perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif.
Operasi pembagian bilangan bulat meliputi: pembagian
bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif, pembagian bilangan bulat
negatif dengan bilangan bulat positif, pembagian bilangan bulat negatif dengan
bilangan bulat negatif, pembagian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat
negatif. Pada bilangan bulat terdapat sifat-sifat tentang penjumlahan dan
perkalian yaitu : komutatif, asosiatif, dan distributif.
DAFTAR PUSTAKA
Untoro, J. 2006. Buku Pintar
Matematika SD untuk Kelas 4, 5, dan 6. Jakarta: Wahyumedia
Untoro, Joko. 2007. Genius Matematika
Kelas 4 SD. Jakarta: Wahyumedia
Karso, dkk. 2013. Pendidikan
Matematika 1. Banten : Universitas Terbuka.
Joeniarsih, Asih. 2012. Makalah
Matematika Bilbul. (Online), diakses pada tanggal 16 Februari,
2016,http://id.scribd.com/doc/116110340/MAKALAH-matematika-bilbul#scribd
Simanjuntak, Lismawati, dkk. 2003. Metode
Mengajar Matematika I. Jakarta : Rineka Cipta
.jpg)
thanks
BalasHapus